Günün içinden kopanlar

Paylaşmak güzel şeydir.

Vektörlerin Nokta Çarpımı

Tanım 1:

\vec{a} ve \vec{b} iki vektör olsun. Bu iki vektörün nokta çarpımı aşağıdaki biçimde gösterilir.

\vec{a} \cdot \vec{b}

Vektörlerin birbirlerine dik ve birim boyuttaki n-boyutlu baz vektörleri cinsinden gösterimi

\vec{a}=a_1 \vec{i}_1+a_2 \vec{i}_2+\cdots + a_n \vec{i}_n
\vec{b}=b_1 \vec{i}_1+b_2 \vec{i}_2+\cdots + b_n \vec{i}_n

şeklinde ise nokta çarpımı karşılıklı bileşenlerin çarpımları toplamına eşittir. Yani

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

Buna göre

  1. Sonuç sabit bir sayıdır. Bu yüzden sabit çarpım denildiği de olur.
  2. Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı boyunun karesini verir.
    \vec{a}\cdot \vec{a}=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=\left(\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\right)^2=\left(|\vec{a}|\right)^{2}
    Dolayısıyla bir vektörün boyunu bulmak için kendisiyle nokta çarpımının karekökünü almak yeterlidir.
    |\vec{a}|=\left(\vec{a}\cdot \vec{a}\right)^{1/2}

Tanım 2:

Vektörlerin uzunluğu biliniyorsa bu uzunluklar ve vektörlerin arasındaki açının kosinüsü çarpıldığında yine nokta çarpımı elde edilmiş olur. Yani

\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha

Buna göre

  1. İki vektör arasındaki açı bulunabilir.
    \cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
  2. Eşdoğrultuda iki vektör aynı yönde ise aralarındaki açı 0 olduğundan nokta çarpımları boylarının çarpımına eşittir.
    \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}| |\vec{b}| çünkü \alpha=0
    Vektörler eşdoğrultulu fakat birbirlerine zıt yönde iseler açı \pi radyan olduğundan nokta çarpımları boylarının çarpımlarının -1 katına eşittir.
    \vec{a}\cdot \vec{b}= -|\vec{a}| |\vec{b}| çünkü \alpha=\pi
  3. Birbirine dik iki vektörün nokta çarpımı sıfırdır.
    \vec{a}\cdot \vec{b}=0 çünkü \alpha=\pi/2
    Buna dik olma şartı da denir.

Tanım 3:

Matris cebirinde iki vektörün nokta çarpımı vektörlerden birinin devrilip diğeriyle matris çarpımı yapılmasıyla elde edilir. Yani

\vec{a}=\{a\}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \quad \vec{b}=\{b\}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

olduğu için

\vec{a}\cdot \vec{b}=\{a^T\}\{b\}=(a_1\, a_2\,\cdots\,a_n)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdot + a_n b_n

  1. Üs olarak verilen T operatörü sütun verktörü satır vektöre devirme işlemini ifade etmektedir.
  2. Matris çarpımında sol taraftaki elemanın sütun sayısı ile sağ taraftaki elemanın kolon sayısı eşit olmalıdır. Buradaki örnekte 1xn (1 satır n sütun) şeklindeki bir satır vektörü nx1 şeklinde bir sütun vektörü ile çarpılmıştır.
  3. Bir vektörün boyunu bulmak için aşağıdaki matris çarpımının karekökünü almak yeterlidir.
    |\vec{a}|^2= \{a^T\}\{a\}

Tanım 4: Bir vektörün başka bir yöndeki izdüşümünü bulmak

Yukarıdaki tanımlara göre \vec{b} birim uzunlukta bir vektör olsaydı çıkan sonuç neye eşit olurdu? Aralarındaki açı tanımına göre yazarsak

\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| |\vec{b}|\cos \alpha = |\vec{a} |\cos \alpha çünkü |\vec{b}|=1 (birim uzunlukta vektör)

Bir vektörün herhangi bir yöndeki şiddetini bulabidiğimize göre o yöndeki birim vektör ile çarptığımızda elde edilen sonuç bir vektörün başka bir yöndeki izdüşümünü verir. Buna göre izdüşüm vektörü \vec{z}

\vec{z}=\left(\vec{a}\cdot \vec{b}\right)\vec{b}

Şimdi de \vec{b} vektörünün birim vektör olma şartını esnetelim. Bir vektörden aynı yöndeki birim vektörü elde etmek için o vektörü boyuna bölmek yeterlidir. Buna göre rastgele bir vektör ile aynı yöndeki birim vektör

\vec{b}_u=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}

Sonuç vektörünün birim olduğunu göstermek için u alt gösterimi eklenmiştir. Buna göre bir vektörün başka bir vektör üzerindeki izdüşüm vektörü aşağıdaki gibidir.

\vec{z}=(\vec{a}\cdot \vec{b}_u)\vec{b}_u=\left(\vec{a}\cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}

Bir vektörün boyunun kendisiyle olan nokta çarpımının kareköküne eşit olduğu tanımı da burada kullanırsak

\vec{z}=(\vec{a}\cdot \vec{b}_u)\vec{b}_u=\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vec{b}\cdot \vec{b}}\right)\vec{b}

izdüşüm vektörünü veren ifadenin en güzel halini elde etmiş oluruz.

Tanım 5: Bir vektörün başka bir vektöre dik bileşenini elde etmek

İzdüşümü bulduktan sonra dik bileşeni bulmak kolaydır. Çünkü vektörün kendisinden diğer vektör yönündeki izdüşümünü çıkardığımızda dik bileşeni elde ederiz. Durum aşağıdaki şekilde açığa kavuşturulmak istenmiştir.

Bir vektörün başka bir vektöre dik olan bileşeni

Şekilde gösterildiği gibi

\vec{d}=\vec{a}-\vec{z}=\vec{a}-\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vec{b}\cdot \vec{b}}\right)\vec{b}

Okuyucuların ileri seviye metinlerde belli sayıda vektörü birbirine dik hale getirmeye çalışan işlemleri gördüklerinde buradaki tanımların kullanıldığını görmeleri muhtemeldir.

Tanım 6: Nokta çarpımının dizin halinde gösterimi

Dizin gösterim şeklinde n-boyutlu bir vektör yine birbirine dik ve birim boyutlu bir baz vektör sisteminde dizin i 1’den n‘e giderken aşağıdaki biçimde gösterilebilir.

\vec{a}= a_i\vec{i}_i

Dizin gösterim biçiminde iki kere geçen dizin toplam anlamına geldiğinden yukarıdaki gösterim şekli aslındadaha önce verilen

\vec{a}=a_1 \vec{i}_1+a_2 \vec{i}_2+\cdots + a_n \vec{i}_n = a_i \vec{i}_i

gösterim biçiminden farksızdır. Buna göre iki vektörün çarpımı da

\vec{a}\cdot \vec{b} = a_i \vec{i}_i \cdot b_j \vec{i}_j= a_i b_j \vec{i}_i\cdot \vec{i}_j= a_i b_j \delta_{ij}=a_i b_i

şeklinde ifade edilebilir. Burada \delta_{ij} Kronecker delta sembolü olup i ve j birbirine eşit olmadıkça sıfıra, eşit iken de bire eşittir.

About these ads

Single Post Navigation

One thought on “Vektörlerin Nokta Çarpımı

  1. Geri bildirim: Genel Ağda Matematik İfadelerin Gösterimi « Günün içinden kopanlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logo

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter picture

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook photo

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ photo

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s

Takip Et

Her yeni yazı için posta kutunuza gönderim alın.

%d blogcu bunu beğendi: